guru.....
engkaulah yang mengajarku
dan mendidikku
serta memberi ilmu
guru….
kau mengajarku tanpa putus asa
sekalipyn engkau lelah
guru..
terimalah
terima kasihku lewat bait puisiku
maafkan aku
karena tidak bisa membalas jasamu
guruku…
Matematika 4
Selasa, 03 Januari 2012
Minggu, 20 November 2011
dalil2 dalam segitiga
DALIL SINUS
a = b = c
sin a sin b sin d
LUAS SEGITIGA
a² = b² + c² - 2 bc cos a
b² = a² + c² - 2 ac cos b
c² = a² + b² - 2 ab cos d
DALIL COSINUS
Luas = ½ ab sin d
½ ac b
½ bc a
Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui :
L = Ö(s(s-a)(s-b)(s-c))
s = setengah keliling segitiga
= ½ (a+b+c)
LINGKARAN DALAM, LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN SINGGUNG SUATU SEGITIGA
3. Lingkaran Singgung Segitiga
Lingkaran L3 menyinggung sisi BC, menyinggung garis BP (BP adalah perpanjangan sisi AB) dan menyinggung garis CQ (CQ adalah perpanjangan sisi AC). Titik pusat lingkaran berada diluar segitiga ABC. Titik pusat lingkaran singgung didapat dari perpotongan garis bagi dalam sudut A dan garis bagi luar sudut B dan sudut C. Terdapat tiga lingkaran singgung yaitu: menyinggung sisi AB, menyinggung sisi BC dan menyinggung sisi AC.
Hubungan :
rsa = jari - jari lingkaran singgung sisi BC
Ö s(s-b)(s-c)
(s-a)
rsb = jari - jari lingkaran singgung sisi AC
Ö s(s-a)(s-c)
(s-b)
rsc = jari - jari lingkaran singgung sisi AB
Ö s(s-a)(s-b)
(s-c)
a = b = c
sin a sin b sin d
LUAS SEGITIGA
a² = b² + c² - 2 bc cos a
b² = a² + c² - 2 ac cos b
c² = a² + b² - 2 ab cos d
DALIL COSINUS
Luas = ½ ab sin d
½ ac b
½ bc a
Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui :
L = Ö(s(s-a)(s-b)(s-c))
s = setengah keliling segitiga
= ½ (a+b+c)
LINGKARAN DALAM, LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN SINGGUNG SUATU SEGITIGA
1. Lingkaran Dalam Segitiga | Lingkaran L1 menyinggung sisi-sisi segitiga ABC, titik pusat lingkaran dalam didapat dari perpotongan garis bagi-garis bagi sudut segitiga ABC. Hubungan : rd = Ö[(s-a)(s-b)(s-c)]/s |
2. Lingkaran Luar Segitiga | Lingkaran L2 melalui titik-titik sudut segitiga ABC, titik pusat lingkaran luar didapat dari perpotongan garis-garis berat segitiga ABC. Hubungan : rL = a = b = c sin a sin b sin d rL = abc 4 Ö[s(s-a)(s-b)(s-c)] |
Hubungan :
rsa = jari - jari lingkaran singgung sisi BC
Ö s(s-b)(s-c)
(s-a)
rsb = jari - jari lingkaran singgung sisi AC
Ö s(s-a)(s-c)
(s-b)
rsc = jari - jari lingkaran singgung sisi AB
Ö s(s-a)(s-b)
(s-c)
.rumus trigonometri
PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a) dengan :
K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°
cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a)
K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
I | II | III | IV | |
a | + | - | - | + |
b | + | + | - | - |
keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x
PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°
cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
melukis grafik | |
y = a cos x + b sin x a cos x + b sin x = K cos (x - a) Maksimum = K ® bila cos (x - a) = 1 cos (x - a) = cos 0° ® untuk x = a + n.360° Minimum = -K ® bila cos (x - a) = -1 cos (x - a) = cos 180° ® untuk x = a ± 180° + n.360° NILAI PEMBUAT NOL FUNGSI (TITIK POTONG DENGAN SUMBU-x) y = 0 ® bila cos (x-a) = 0 cos (x-a) = cos 90° ® untuk x = a ± 90° + n360° grafik dibuat berdasarkan data-data diatas |
sistem persamaan linier tiga variabel
Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
Paling sedikit ada lima cara / metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier.Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini
x | + | y | − | z | = | 1 | (1) |
8x | + | 3y | − | 6z | = | 1 | (2) |
−4x | − | y | + | 3z | = | 1 | (3) |
Metode eliminasi
Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunya koefisien yang sama (baik positif maupun negative) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat mejumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4).
x | + | y | − | z | = | 1 | (1) |
−4x | − | y | + | 3z | = | 1 | (3) |
------------------------- | + | ||||||
−3x | + | 2z | = | 2 | (4) |
x | + | y | − | z | = | 1 | (1) | × 3 | 3x | + | 3y | − | 3z | = | 3 | (1) |
−8x | + | 3y | − | 6z | = | 1 | (2) | −8x | + | 3y | − | 6z | = | 1 | (2) | |
------------------------- | - | |||||||||||||||
−5x | + | 3z | = | 2 | (5) |
−3x | + | 2z | = | 2 | (4) | × 3 | −9x | + | 6z | = | 6 | (4) |
−5x | + | 3z | = | 2 | (5) | × 2 | −10x | + | 6z | = | 4 | (5) |
------------------------- | − | |||||||||||
x | = | 2 | (6) |
−3(2) + 2z | = | 2 | (4) |
−6 + 2z | = | 2 | |
2z | = | 8 | |
z | = | 8 ÷ 2 | |
z | = | 4 |
2 + y − 4 | = | 1 | (1) |
y | = | 1 − 2 + 4 | |
y | = | 3 |
Metode substitusi
Pertama-tama, marilah kita atur persamaan (1) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.x = 1 − y + z (1)
Sekarang kita substitusi x ke persamaan (2).8(1 − y + z) + 3y − 6z | = | 1 | (2) |
8 − 8y + 8z + 3y − 6z | = | 1 | |
−5y + 2z | = | 1 − 8 | |
−5y + 2z | = | −7 | (4) |
−4(1 − y + z) − y+ 3z | = | 1 | (3) |
−4 + 4y − 4z − y+ 3z | = | 1 | |
3y − z | = | 1 + 4 | |
3y − z | = | 5 | (5) |
z = 3y − 5 (6)
Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan (4).−5y + 2(3y − 5) | = | −7 | (4) |
−5y + 6y − 10 | = | −7 | |
y | = | −7 + 10 | |
y | = | 3 |
z | = | 3(3) − 5 | (6) |
z | = | 9 − 5 | |
z | = | 4 |
x | = | 1 − 3 + 4 | (1) |
x | = | 2 |
Metode grafik
Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu.Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini.
x | + | y | = | 3 | (1) |
2x | − | y | = | −3 | (2) |
Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y = 3.
Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan.
Metode Matriks Invers
System persamaan linier yang terdiri atas persamaan-persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat juga ditulis dengan bentuk notasi matriks AB = C seperti berikut
|
| = |
|
A−1AB | = | A−1C |
B | = | A−1C |
A−1 = |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
B = |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||
B = |
|
Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel. Kalkulator di atas juga menggunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.
Eliminasi Gauss / Eliminasi Gauss-Jordan
Sistem persamaan liniear yang terdiri atas persamaan-persamaan(1), (2), dan (3) dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks teraugmentasi A seperti berikutA = |
|
A = |
|
A = |
|
soal-soal matematika
Persamaan Kuadrat
contoh soal :
1. UMPTN 1991
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan 2x2-3x +5 = 0 adalah..
A. 2x2 -5x +3 = 0
B. 2x2 +3x +5 = 0
C. 3x2 -2x +5 = 0
D. 3x2 -5x +2 = 0
E. 5x2 -3x +2 = 0
METODE CERDAS/SMART:
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar ax2+bx +c = 0 Adalah : cx2 +bx +a = 0 (Kunci : posisi a dan c di tukar )
Jawab:
5x2 -3x +2 = 0 (E)
Logaritma
contoh soal:
UMPTN 1997
Jumlah dari penyelesaian persamaan : 2log2x +52log x +6 = 0 sama dengan….
- ¼
- ¾
- 1/8
- 3/8
- -5/8
Jawab:
Pembahasan smart/cara cepat
ingat!
alog f(x) = p maka :
f(x) = ap
maka:
- 2log2x +52log x +6 = 0
- (2log x +2)(2log +3) =0
- 2log x = -2 atau 2log x = -3
- x = 2-2 = ¼ atau x = 2-3 = 1/8
Maka : x1 + x2 = ¼ + 1/8 = 3/8
Peluang
contoh soal :
UMPTN 1998
Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 7 soal ulangan, tapi soal nomor 1 dan 2 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah….
- 4
- 5
- 6
- 7
- 10
Penyelesaian cara cepat :
No. 1 dan 2 harus dikerjakan, maka sisa nomor yang dipilih : 3 ,4 ,5 ,6 ,7
Dipilih 3 soal lagi,maka :
C53 = (5.4) /(2.1) = 10
Invers
Tentukan invers dari :
F(x) = (2x + 2)2 – 5
Cara biasa :
F(x) = y = (2x + 2)2 – 5
y + 5 = (2x + 2)2
(y + 5)1/2 = 2x + 2
(y + 5)1/2 – 2 = 2x
[(y +5)1/2 - 2]/2 = x
Jadi F’(x) = [(x + 5)1/2 - 2]/2
Cara Cerdas :
Lihat : (2x + 2)2 –5
pada fungsi tersebut pertama x dikalikan 2 kemudian ditambah 2 lalu dipangkatkan 2 kemudian dikurang 5
Untuk mendapatkan inversnya sekarang langkahnya di balik / dari belakang dan operasinya tiap langkah diubah dengan menggunakan inversnya
hasilnya : x ditambah 5 kemudian dipangkat 1/2 lalu dikurang 2 kemudian dibagi 2
so jawabannya : F’(x) = [(x + 5)1/2 - 2]/2
Minggu, 13 November 2011
Ringkasan matematika kelas X bab 3"sistem persamaan linier"
Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.
Bentuk umum untuk persamaan linear adalahContoh
Contoh sistem persamaan linear dua variabel:- ,
- ,
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta, dan x dan y adalah variabelnya.Bentuk Umum
-
- dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A ≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a. Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus -c/b.
Bentuk standar
-
- di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a dan b adalah nol.
Bentuk titik potong gradien
Sumbu-y
-
- dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah persilangan dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik.
Sumbu-x
-
- dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.
Sistem persamaan linear lebih dari dua variabel
Sebuah persamaan linear bisa mempunyai lebih dari dua variabel, seperti berikut ini:
Langganan:
Postingan (Atom)